Dãy hyperoperation H n ( a , b ) : ( N 0 ) 3 → N 0 {\displaystyle H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}} là một dãy các phép toán hai ngôi H n : ( N 0 ) 2 → N 0 {\displaystyle H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}} , định nghĩa đệ quy như sau:

H n ( a , b ) = a [ n ] b = { b + 1 nếu  n = 0 a nếu  n = 1  và  b = 0 0 nếu  n = 2  và  b = 0 1 nếu  n ≥ 3  và  b = 0 H n − 1 ( a , H n ( a , b − 1 ) ) cách khác {\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{nếu }}n=0\\a&{\text{nếu }}n=1{\text{ và }}b=0\\0&{\text{nếu }}n=2{\text{ và }}b=0\\1&{\text{nếu }}n\geq 3{\text{ và }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{cách khác}}\end{cases}}}

(Lưu ý rằng đối với n = 0, phép toán hai ngôi về cơ bản sẽ giảm xuống còn phép toán một ngôi (successor) bằng cách bỏ qua đối số đầu tiên.)

Với n = 0, 1, 2, 3, định nghĩa này tái tạo các phép toán số học cơ bản của successor (là một phép toán một ngôi), cộng, nhân và luỹ thừa, tương ứng, như

H 0 ( a , b ) = b + 1 , H 1 ( a , b ) = a + b , H 2 ( a , b ) = a ⋅ b , H 3 ( a , b ) = a ↑ b = a b , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1\,\!,\\H_{1}(a,b)&=a+b\,\!,\\H_{2}(a,b)&=a\cdot b\,\!,\\H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b}\,\!,\end{aligned}}}

Vậy phép toán bậc tiếp theo sau lũy thừa là gì? Chúng ta đã xác định phép nhân sao cho H 2 ( a , 3 ) = a [ 2 ] 3 = a × 3 = a + a + a , {\displaystyle H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,} và xác định lũy thừa sao cho H 3 ( a , 3 ) = a [ 3 ] 3 = a 3 = a ⋅ a ⋅ a , {\displaystyle H_{3}(a,3)=a[3]3=a^{3}=a\cdot a\cdot a,} vì vậy có vẻ hợp lý để xác định các phép toán tiếp theo, Tetration, sao cho H 4 ( a , 3 ) = a [ 4 ] 3 = tetration ⁡ ( a , 3 ) = a a a , {\displaystyle H_{4}(a,3)=a[4]3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},} với một tháp ba 'a'. Tương tự, Pentation của (a, 3) sẽ là tetration (a, phép tetration (a, a)), với ba "a" trong đó.

Nếu các phép toán H có n ≥ 3 thì có thể được viết bằng ký hiệu mũi tên lên Knuth như sau:

H 4 ( a , b ) = a ↑↑ b , H 5 ( a , b ) = a ↑↑↑ b , … H n ( a , b ) = a ↑ n − 2 b  với  n ≥ 3 , … {\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b},\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ với }}n\geq 3\,\!,\\\ldots &\\\end{aligned}}}

Ký hiệu Knuth có thể được mở rộng thành các chỉ số âm ≥ -2 theo cách đồng ý với toàn bộ dãy hyperoperation, ngoại trừ độ trễ trong việc lập chỉ mục:

H n ( a , b ) = a ↑ n − 2 b  với  n ≥ 0. {\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ với }}n\geq 0.}

Hyperoperation có thể được coi là một câu trả lời cho câu hỏi "cái gì tiếp theo" trong dãy: successor, cộng, nhân, luỹ thừa,... Ghi chú điều đó

a + b = ( a + ( b − 1 ) ) + 1 a ⋅ b = a + ( a ⋅ ( b − 1 ) ) a b = a ⋅ ( a ( b − 1 ) ) a [ 4 ] b = a a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}}

Mối quan hệ giữa các phép toán số học cơ bản được minh họa, cho phép các phép toán bậc cao hơn được xác định một cách tự nhiên như trên. Các tham số của hệ thống phân cấp phép toán đôi khi được gọi bằng thuật ngữ lũy thừa tương tự của chúng,[1] vì vậy a là cơ số, b là số mũ (hoặc siêu mũ), e), và n là bậc (hoặc cấp), và H n ( a , b ) {\displaystyle H_{n}(a,b)} được đọc là "n-ation bậc b của a", ví dụ: H 4 ( 7 , 9 ) {\displaystyle H_{4}(7,9)} được đọc là "tetration bậc 9 của 7", và H 123 ( 456 , 789 ) {\displaystyle H_{123}(456,789)} được đọc là "123-ation bậc 789 của 456".

Nói một cách phổ biến, các phép toán là những cách ghép các số tăng theo sự tăng trưởng dựa trên sự lặp lại của các phép toán trước đó. Các khái niệm successor, cộng, nhân và lũy thừa đều là các phép toán, phép successor (tạo x + 1 từ x) là cơ bản nhất, phép cộng xác định số lần 1 được cộng thêm vào chính nó để tạo ra giá trị cuối cùng, phép nhân xác định số lần một số được thêm vào chính nó, và luỹ thừa đề cập đến số lần một số được nhân với chính nó.